Esparcimiento clásico de partículas

El asunto general del esparcimiento o deflexión múltiple de varias partículas móviles ante la presencia de un núcleo o centro de esparcimiento que se encuentran en su camino reviste una importancia enorme en la física moderna. Quizá los ejemplos más sobresalientes de esto se encuentren en la física nuclear, en donde el esparcimiento de haces de partículas tales como protones, electrones o mesones por varias partículas que sirven como “blanco” proporciona mucha de la información básica de la física nuclear. No menos importante son los experimentos llevados a cabo en los aceleradores de partículas, incluyendo al acelerador de partículas más grande del mundo, el Gran Colisionador de Hadrones, construído para intentar arrancarle a la Naturaleza los últimos secretos que todavía le quedan acerca del origen del Universo y de la estructura fundamental de la materia.

Podemos empezar el estudio del esparcimiento de partículas directamente a partir de los postulados de la Mecánica Cuántica, usando para ello la dualidad onda-partícula. Sin embargo, resulta más provechoso darle previamente un repaso a los experimentos clásicos del esparcimiento de partículas que anteceden al advenimiento de la Mecánica Cuántica, sin los cuales no le hubiera sido posible a Niels Bohr postular su modelo atómico planetario que sirvió a su vez de inspiración para investigar más a fondo la estructura matemática que dá una realidad objetiva al mundo sub-microscópico, al igual que en el estudio de la Mecánica Estadística Cuántica resultó provechoso darle un repaso a la Mecánica Estadística clásica de Boltzmann, lo cual permite apreciar la manera en la cual han ido evolucionando las ideas esenciales en las que se basa hoy en día la Mecánica Cuántica. Y es lo que haremos en esta entrada, iniciar el estudio del esparcimiento de partículas tal y como se llevó a cabo antes del advenimiento de la Mecánica Cuántica.

Apoyado por avances en el área de la química, el modelo atómico de Dalton (1803), sin duda alguna inspirado e influenciado por la concepción atómica de los antiguos filósofos griegos tales como Demócrito de Abdera, proponía que los átomos eran esferas sólidas, idénticas, indivisibles (la palabra átomo derivada del griego significa precisamente eso, algo que no se puede cortar o dividir), impenetrables e indestructibles, empaquetadas cada una en proximidad con sus vecinas cercanas con las esferas, tocándose la una a la otra en el caso de los sólidos. Este era el modelo prevaleciente hasta que se empezaron a llevar a cabo experimentos usando partículas de alta energía lanzadas directamente hacia láminas metálicas teniéndose los medios para detectar visualmente las partículas que pudieran haber atravesado la lámina. Como puede verse en la figura que se muestra a continuación, de ser cierto el modelo de Dalton, en el mejor de los casos solo una fracción pequeña de las partículas de alta energía deberían de ser capaces de atravesar una lámina metálica (las esferas amarillas representan los átomos de oro en una lámina extremadamente delgada, los puntitos pequeños verdes dentro de las esferas representan los puntos de impacto vistos desde frente de las partículas lanzadas como proyectiles hacia la lámina de oro y que chocan con los átomos de oro, mientras que los puntitos en las regiones obscuras representan las partículas que pasan a través del espacio vacío que hay entre los átomos de oro):

De hecho, en una lámina real cuyo grosor por pequeño que sea necesariamente tiene que estar formado por varias capas de átomos, no habría resquicio alguno por donde pudiera pasar nada:

Sin embargo, al llevarse a cabo los experimentos, se encontró que la gran mayoría de las partículas lanzadas a una lámina metálica suficientemente delgada (pero sin agujeros) podían atravesar la lámina sin problema alguno. Estamos hablando aquí de algo extraordinario, de átomos atravesando láminas formadas por varias capas de átomos. De este modo, aunque el concepto del átomo se mantuvo firme (sostenido por las conclusiones obtenidas de la química), el modelo atómico de Dalton se empezó a derrumbar ya que dicho modelo no explica cómo es posible que un haz continuo de partículas de alta energía sea capaz de estar penetrando una lámina delgada metálica sin perforarla.

A finales del siglo XIX, y aunque aún no había Mecánica Cuántica, no había ya duda alguna sobre la existencia de las cargas eléctricas, positiva (+) y negativa (-). Sobre este hecho obtenido experimentalmente y confirmado en numerosos experimentos se basó precisamente la electrodinámica de Maxwell. Había, sin embargo, un problema que no parecía fácil de resolver: la reconciliación de la existencia de cargas eléctricas de signos contrarios con la naturaleza eléctricamente neutra de la materia. Generalmente hablando, la materia inerte en su estado sólido es eléctricamente neutra.

Para explicar la coexistencia de las cargas eléctricas negativas, los electrones, con las cargas eléctricas de signo positivo que se suponía que existían en la materia, los protones, que eran capaces de neutralizar la carga eléctrica de los electrones dándole su neutralidad eléctrica al átomo, uno de los primeros modelos teóricos de amplio uso fue el modelo propuesto por Joseph John Thomson, mejor conocido como Lord Kelvin, precisamente el descubridor del electrón. Este modelo, conocido como el modelo del budín de plum o bien modelo de pastel de pasas supone que la carga positiva del átomo en lugar de estar concentrada en el átomo en algún lugar específico está diluída en una especie de nube de carga, una especie de budín suave y gelatinoso, y los electrones en cierto modo están “flotando” (aunque permaneciendo estáticos) dentro de esta nube de carga positiva. A diferencia del modelo de Dalton bajo el cual la materia es completamente impenetrable (figura izquierda) en el modelo de Thomson (figura derecha) la materia se vuelve penetrable:

En el modelo de Thomson el punto fundamental es la dilución de las cargas eléctricas por unidad de volumen. Al estar diluída la carga eléctrica positiva ocupando todo el espacio intersticial de la materia, con los electrones ubicados dentro de la misma en las posiciones en las cuales están más alejados el uno del otro separados por su fuerza de repulsión eléctrica mutua pero mantenidos dentro del pastel gracias a la presencia de la nube de carga eléctrica positiva que neutralizaba el efecto de las cargas negativas de los electrones sobre sus vecinos cercanos, sería posible lanzar partículas con una energía lo suficientemente alta para atravesar la materia sin encontrar prácticamente nada en su camino capaz de rebotarlas fuera de su trayectoria inicial. En el modelo de Thomson no existe núcleo atómico alguno. Pero si en dicho modelo no existen los núcleos atómicos en los cuales esté concentrada la carga eléctrica que se supone positiva, ¿entonces que hay de los átomos que constituyen la materia? Para Thomson, los átomos de los elementos solo adquieren una identidad propia cuando la materia pasa al estado gaseoso. En el estado sólido, los átomos en cierto modo (aunque sin dejar de existir individualmente) se diluyen en una nube de carga positiva aglutinando a los electrones como las pasas del budín. Suponer la existencia de átomos esféricos indivisibles e impenetrables tocándose el uno al otro hubiera sido para Thomson regresar al modelo de Dalton. El modelo de Thomson en cierto modo explicaba -aunque a duras penas- la posibilidad de producir una corriente eléctrica en un material conductor (y ya se sabía para entonces que los portadores de carga de las corrientes eléctricas eran los electrones, no los protones cuya existencia se suponía indispensable para poder garantizar la neutralidad eléctrica de la materia). Con los electrones suspendidos estáticamente en medio de una nube de carga positiva, era lógico que al aplicar un voltaje (una diferencia de potencial eléctrico) a una muestra de material eléctrico conductor los electrones se pusieran en movimiento con respecto a la nube de carga positiva que permanecía estática. Para Thomson la materia sólida seguía siendo constituída por átomos, pero como nubes esféricas borrosas en las que la carga eléctrica positiva estaba muy diluída en lugar de estar concentrada en una región en el interior de la esfera del átomo.

De ser cierto el modelo de Thomson, una lluvia de átomos (no de electrones, sino átomos, y es importante recalcar esto, en virtud de que la masa de un átomo es mucho mayor que la masa de los electrones que contiene) utilizados como “proyectiles” disparados directamente hacia la “masa gelatinosa” de carga positiva -con electrones suspendidos dentro de la misma repeliéndose mutuamente por sus cargas del mismo signo- deberían poder atravesar una lámina suficientemente delgada de material con una desviación mínima en sus recorridos, quizá agitando a la masa y sacando fuera esporádicamente de su posición y al azar algunos electrones aislados solo para reestablecer su equilibrio poco después. Esto es, en efecto, lo que se observaba con la ayuda del espintaroscopio, la gran mayoría de las partículas usadas como “balas” penetraban y atravesaban láminas metálicas delgadas con desviaciones mínimas en sus recorridos. Sin embargo, y contrariamente a lo que se esperaba, se encontró también que algunas de las “balas” eran desviadas a ángulos relativamente grandes, incluso a tal grado que algunas partículas terminaban invirtiendo sus direcciones encaminándose hacia atrás en vez de seguir adelante. En el siguiente par de figuras, la figura superior muestra el modelo de Thomson en el que no existe núcleo atómico alguno, mientras que la figura inferior muestra otro modelo en el que, a diferencia del modelo de Thomson, la carga eléctrica positiva de la materia está altamente concentrada en regiones muy pequeñas:

En la figura inferior, podemos ver que la carga eléctrica positiva que corresponde a un átomo, en vez de ocupar todo el volumen de la esfera atómica, está concentrada en una región muy pequeña del espacio interior del átomo en la cual, como es lógico, la densidad de carga eléctrica por unidad de volumen tiene que ser muy elevada, capaz de repeler a las partículas que le son lanzadas como proyectiles. Y como lo sugiere la figura inferior, la única explicación posible a los hechos obtenidos experimentalmente al observar que un haz de partículas atómicas de alta energía arrojadas hacia una muestra de materia la pueden atravesar con deflexiones pequeñas consiste en dar por hecho que, contrariamente a lo que propone el modelo de Thomson, las cargas eléctricas en la materia no están distribuídas uniformemente neutralizándose del mismo modo en el que una gota de tinta se diluye al caer en un vaso de agua. Las cargas eléctricas positivas de la materia tienen que estar concentradas en regiones muy pequeñas, los núcleos de los átomos. Es aquí cuando entra Ernest Rutherford en el escenario. En el experimento propuesto por vez primera por Rutherford, se contaba ya con algo  que resultó muy conveniente: una fuente radioactiva de partículas alfa (α) consistentes cada una de ellas en dos protones y dos neutrones. Para el experimento propuesto se utilizó una delgadísima lámina de oro (el oro fue seleccionado para el experimento precisamente por su gran maleabilidad que permite moldearlo a espesores milimétricos), y después de la lámina se puso un detector visual de centelleos consistente en una pequeña pantalla de sulfuro de zinc, de modo tal que cada vez que una partícula α golpea la superficie de la lámina de sulfuro de zinc aparece un punto luminoso con una duración de tiempo lo suficientemente grande como para anotar manualmente el evento así como la posición relativa en la cual ocurrió. Y lo que se encontró fue que al entrar en la lámina de oro un lápiz delgado de partículas atómicas α las partículas atómicas, en vez de ser absorbidas de algún modo dentro de la lámina, la atravesaban, pero emergiendo de la lámina no como el lápiz delgado de partículas que entró en ella sino como un enjambre de partículas disparadas en todas las direcciones posibles, aunque con la mayor concentración de las partículas emergentes concentradas en la misma dirección del haz entrante:

Conforme avancemos en nuestra discusión, veremos que la imagen comparativa que emerge entre los modelos de Thomson y Rutherford es la siguiente:

La herramienta utilizada por Rutherford y sus colaboradores fue un detector óptico conocido como el espintaroscopio (palabra derivada del griego que significa “centelleo”), inventado por William Crookes en 1903, el cual en sí no tiene mucha ciencia. Está basado en el hecho de que una partícula de alta energía, cuando impacta una lámina delgada de sulfuro de zinc, emite un destello luminoso que persiste por un tiempo breve. En cierto modo es el mismo principio en el que se basan las ya obsoletas pantallas de tubos de rayos catódicos de los televisores de antaño, excepto que en tal caso en lugar de utilizarse sulfuro de zinc en la pantalla luminosa el elemento utilizado eran partículas de fósforo, y los proyectiles que causaban los destellos luminosos con los cuales se iba formando la imagen eran los electrones acelerados desde la base del tubo de rayos catódicos. El espintaroscopio original de Crookes, conocido también como contador óptico de partículas (resultó ser el primer contador de partículas, desde antes de la invención del contador Geiger), el cual tiene una lente de microscopio por un lado y una pantalla de sulfuro de zinc por el otro, es el siguiente

Una versión un poco más moderna del espintaroscopio original de Crookes pero basada en el mismo principio sin cambio alguno es la siguiente:

Si apuntamos un haz colimado de partículas α hacia un centro de dispersión (un núcleo atómico) como lo hizo Rutherford, entonces en una pantalla plana de sulfuro de zinc que recoja las partículas esparcidas encontraremos algo que en forma cumulativa va tomando el siguiente aspecto:

Los puntos individuales discretos en la pantalla son la evidencia absoluta de que cada uno de ellos representa el resultado del impacto de una partícula atómica o sub-atómica. Sigue siendo sorprendente aún en nuestros días el hecho de que podamos ver, literalmente hablando, la acción de los átomos individuales (las partículas esparcidas) en cada uno de los puntos individuales registrados en la pantalla de sulfuro de zinc.

Como ya se mencionó, las “balas” utilizadas por Rutherford fueron partículas alfa (núcleos de helio ionizados He2+, consistentes cada partícula α en dos protones y dos neutrones) obtenidas mediante la desintegración natural de elementos radioactivos como el uranio, el radio y el polonio, mientras que el “blanco” de las “balas” fue una lámina de oro lo suficientemente delgada para obtener centelleos en una cantidad observable. Aunque es posible construír una enorme esfera de sulfuro de zinc para que actúe como una pantalla receptora de todas las partículas deflexionadas por cada núcleo dispersor (el núcleo de cada átomo de oro), o sea una especie de “espintaroscopio esférico” por así decirlo, tal cosa no es ni práctica ni necesaria. Podemos obtener toda la información deseada usando una banda de sulfuro de zinc en forma de anillo:

Y de hecho, no se requiere de una pantalla anular de sulfuro de zinc como lo sugiere la figura de arriba. Basta con tener un visor ocular como el de un microscopio que pueda ser girado en torno a la lámina de oro a cualquier ángulo. El aparato utilizado para llevar a cabo por vez primera los experimentos propuestos por Rutherford está esquematizado como sigue:

En un aparato como este, si alineamos el visor del microscopio en sentido contrario a la misma dirección de la cual está emergiendo el haz de partículas α que llega a la lámina de oro (como si estuviéramos viendo directamente de frente a una pistola con la cual nos están apuntando a la cara), con una cantidad suficientemente grande de material radioactivo puesto dentro de la cajita de plomo de la cual sale el lápiz de partículas α, veremos entonces en el visor ocular de sulfuro de zinc un patrón aleatorio de centelleos como el siguiente (esta es una imagen dinámica):

Es aquí cuando Rutherford tuvo la afortunada y genial ocurrencia de que se checase el esparcimiento de las partículas no solo mirando y contando los centelleos de frente, sino a varios ángulos con respecto al eje de referencia de observación, e inclusive hacia atrás, así fuese tan solo para confirmar la rápida caída en la observación de destellos luminosos desplazamientos angulares pequeños hasta llegar a la ausencia total de destellos observados en el visor con su pantalla de sulfuro de zinc, habido el hecho de que la probabilidad de observar tales centelleos inclusive en un lapso de años de varios años de observación fuese prácticamente nula. Grande fue la sorpresa de los experimentadores cuando empezaron a observar centelleos un ángulo de 45 grados que confirmaban que algunas de las partículas alfa estaban siendo esparcidas a ángulos imposibles de explicar en base a lo que predecía el modelo de Thomson:

Inclusive con el visor ocular microscópico de sulfuro de zinc situado a un ángulo de 90 grados se podían observar los destellos de partículas esparcidas, aunque en cantidad menor indicando una reducción en la intensidad de las partículas esparcidas:

Todavía ángulos de 135 grados era posible observar partículas esparcidas:

Pero mayor fue la sorpresa de los experimentadores cuando empezaron a observar centelleos que confirmaban que algunas de las partículas alfa esparcidas eran desviadas en sentido opuesto a la dirección emergente de la cual salía el haz de partículas α de la cajita de plomo, algo ya imposible de conciliar con lo que predecía el modelo de Thomson. Lo que observaron a través del visor ocular a un ángulo muy cercano a los 180 grados con respecto al eje frontal de referencia (alineado casi paralelamente a la dirección en la que estaban saliendo disparadas las partículas α)  fue algo como lo siguiente:

Anticipándonos un poco a la discusión posterior, puesto que la probabilidad de observar aunque fuese en forma aislada y muy esporádica este último tipo de eventos (partículas rechazadas en dirección opuesta a la dirección que tenían las partículas α al salir del colimador de plomo que contiene el polvo radioactivo) aún estando pegados al microscopio por varios siglos era casi nula (de acuerdo al modelo atómico de Thomson), el modelo de pudín de pasas era simple y sencillamente insostenible.

Suponiendo que el campo visual del microscopio del aparato abarca cierto rango angular, cada cierto intervalo de tiempo podemos contar el número de destellos luminosos que vemos en el visor del microscopio, por ejemplo cada 10 segundos, con lo cual podemos estimar el número de impactos por segundo para la posición angular en la cual está ubicado el visor. Si giramos el visor hacia otro ángulo cercano que abarce cierto rango angular que no se traslape con el rango angular anterior, podemos repetir el conteo, y así sucesivamente para varios ángulos, acumulando los datos experimentales de la distribución de impactos, con lo cual podemos ir construyendo un histograma como el siguiente:

Para el conteo ΔN de partículas dentro de cada rango angular Δθ obviamente se usaron cantidades iguales de tiempo. Y aunque la gráfica a estas alturas resulta algo tosca, sin duda alguna con un conteo mayor de partículas que vaya reduciendo la incertidumbre del error experimental la gráfica irá tomando la forma de una curva continua y suave.

A continuación tenemos una vista superior de la pequeña mesa giratoria en la cual se lleva a cabo el experimento propuesto por Rutherford:

El aparato para llevar a cabo un experimento de Rutherford no necesariamente tiene que ser algo de gran tamaño. De hecho, el aparato experimental original utilizado para llevar a cabo los conteos de partículas por unidad de tiempo es el siguiente:

En este aparato, la fuente radioactiva de partículas α es la cajita de plomo (2), con una apertura (1) para meterle el polvo radioactivo, la lámina delgada de oro es (3), la entrada al visor ocular del microscopio en donde está puesto el recubrimiento de sulfuro de zinc es (4) mientras que la salida del centelleo hacia la lente de observación es (5). El ducto (9) es para extraer el aire de la cámara a través del orificio tubular (8) con la finalidad de crear un vacío en el interior (7) que minimice las posibles colisiones con las moléculas de aire que pueda haber dentro del aparato.

El experimento definitivo que produjo resultados completamente inesperados que obligaron a la postulación de que todo aquello que llamamos “materia sólida” está de hecho concentrado en una porción muy pequeña  del volumen total ocupado por un átomo a lo cual se le llamó núcleo, se llevó a cabo en 1909 por Hans Wilhelm Geiger y Ernest Mardsen bajo la dirección de Rutherford, produciendo el colapso del modelo de budín de Thomson y demostrándose con ello la existencia del núcleo atómico.Se trata del experimento que introdujo a la ciencia el campo de la física nuclear.

Las investigaciones llevadas a cabo por Rutherford y sus colaboradores también resolvieron un viejo dilema. Todavía hasta finales del siglo XIX, había científicos que estaban convencidos de que la materia sólida seguía siendo sólida si se le iba cortando con un cuchillo fino en pedazos cada vez más pequeños, ya fuese en mitades, en mitades de mitades, en mitades de mitades de mitades, y así hasta el infinito, manteniéndose sólida todo el tiempo, posiblemente hasta llegar a los hipotéticos átomos que ya no podían ser cortados con un cuchillo ideal por muy fino que éste fuese, pero estando de cualquier modo los átomos pegados el uno al otro sin existir espacio vacío alguno entre ellos. Esto contradecía el pensamiento de la escuela filosófica contraria que sostenía la hipótesis de la existencia del espacio vacío que se creía que se encontraría tarde o temprano al continuar sub-dividiendo la materia, el mismo espacio vacío del que hablaron Demócrito de Abdera y John Dalton basándose en meras especulaciones de carácter lógico y filosófico sin que estuviesen apoyadas en algún experimento definitivo que confirmase dichas especulaciones. Los experimentos de Geiger y Marsden llevados a cabo en Inglaterra demostraron que no solo había espacio vacío entre los átomos sino que, para sorpresa de Rutherford y sus colaboradores, resultó que la mayor parte del espacio al interior de la materia es espacio vacío. Cualquier cosa que hubiera a la cual se le pudiera llamar “sólida” no ocupaba ni siquiera el uno por ciento del espacio disponible entre los intersticios atómicos.

Tenemos, pues, dos modelos:


El modelo de Thomson en el cual los electrones del átomo (cargados negativamente) están flotando (y a veces moviéndose) dentro de una nube de carga eléctrica positiva, con los electrones haciendo las veces de las pasas en una tarta de pasas, siendo por lo tanto los átomos incapaces de impedir el paso de partículas atómicas que tengan una energía lo suficientemente alta para atravesar láminas delgadas de materia sin producir agujero alguno en las láminas.

El modelo de Rutherford en el cual la carga eléctrica positiva, en vez de estar diluída ocupando la mayor parte del volumen del espacio atómico y cubriendo a los electrones dentro de la misma está concentrada en un espacio muy pequeño sin tener dentro de dicho espacio a ningún electrón, los cuales quedan fuera del núcleo atómico positivo.


En el modelo de Thomson, cuando una partícula incide sobre una lámina de oro dicha partícula incidente es deflexionada un poco por el primer átomo “gelatinoso” con el que tiene un encuentro (la costumbre ha hecho llamar a tales encuentros colisiones), tras lo cual es deflexionada un poco más por la siguiente partícula con la cual tiene un segundo encuentro, y así sucesivamente hasta que la partícula sale del otro lado de la lámina en una dirección diferente a la dirección original del haz entrante. Puesto que para cada partícula sus encuentros con los átomos de la lámina serán diferentes a los encuentros de las otras partículas, siempre al azar y dependiendo del punto en donde vayan entrando a cada átomo, la distribución del esparcimiento de las partículas es en realidad el resultado de muchos encuentros, y el problema es el equivalente al de la descripción estadística del problema del camino aleatorio o paseo aleatorio. Se puede demostrar que cuando cada encuentro no produce una deflexión muy apreciable con respecto a la dirección que llevaba el caminante antes del encuentro, la distribución de los sitios de arribo exhibirá una distribución normal o Gaussiana.

Para fines de discusión, supongamos como válido el modelo de Thomson. Supongamos ahora que, sin una lámina metálica delgada de por medio, nos limitamos simplemente a observar directamente con el visor microscópico de sulfuro de zinc el haz de partículas α que están saliendo de la cajita de plomo. Puesto que el agujerito de la cajita de plomo que encierra al material radioactivo no es un agujero perfecto, en vez de observar a traves de los centelleos un haz de partículas concentradas en un solo punto podemos esperar ver algo parecido a una distribución normal (Gaussiana) cuya intensidad caerá exponencialmente a ambos lados del punto central de máxima intensidad:

Puesto que la curva Gaussiana es simétrica, para mayor claridad nos podemos enfocar en el lado izquierdo de la gráfica (que representa ángulos positivos de deflexión θ), o sea:

De la gráfica anterior, resulta claro que esperamos encontrar una cantidad prácticamente nula de partículas arriba de cierto ángulo θ, porque tal es la naturaleza de la curva Gaussiana. Ahora pongamos una lámina de oro situada justo entre la fuente de partículas α y el visor microscópico de sulfuro de zinc. Si realmente en el modelo de Thomson las colisiones que pueda haber entre los átomos incidentes (las partículas α) y los átomos estacionarios (los átomos de la lámina de oro) producirán deflexiones muy pequeñas, entonces la distribución de partículas esparcidas también deberá ser una curva Gaussiana con una caída exponencial rápida.

Sin embargo, la curva Gaussiana mostrada arriba no es lo que se observa experimentalmente. Sorprendentemente, la curva obtenida experimentalmente es la siguiente de acuerdo a los puntos experimentales sobrepuestos junto a la curva de color rojo obtenida teóricamente más abajo):

Obviamente, algo anda muy mal en la suposición de que el esparcimiento de las partículas incidentes (las partículas α), supuesto como el resultado de varias colisiones con los átomos estacionarios (los átomos de oro de la lámina) debería de producir una curva Gaussiana muy cerrada al aplicar un análisis estadístico del recorrido aleatorio libre medio de las partículas incidentes, suponiendo (modelo de Thomson) que cada colisión sucesiva de una partícula incidente con un átomo de oro solo puede producir una desviación muy pequeña de su trayectoria en virtud de estar desparramada la carga positiva del átomo en todo el espacio de volumen ocupado por el átomo. Si hemos de tratar de dar alguna explicación teórica a lo que está sucediendo, no queda más remedio que “comprimir” la carga eléctrica positiva que creíamos desparramada en todo el volumen esférico de un átomo nebuloso, hacia una región muy pequeña, elevando efectivamente la concentración de la carga por unidad de volumen:

Al dar este paso estamos inventando, en efecto, el concepto del núcleo atómico, el cual concentrará toda la carga eléctrica positiva que antes estaba desparramada por doquier. ¿Pero qué tanto debemos concentrar la carga eléctrica positiva? ¿De qué tamaño debe ser ese espacio volumétrico (que supondremos esférico por ser la esfera la figura volumétrica más perfecta de la Naturaleza) para que puedan concordar los datos experimentales con los datos teóricos? En pocas palabras, ¿cuál debe ser nuestra estimación del tamaño de ese núcleo atómico? Obsérvese que al dar este paso no estamos tomando en cuenta para nada las posibles colisiones de las partículas incidentes (las partículas α) con los electrones de los átomos de oro, por la sencilla razón de que, aunque las magnitudes de las cargas eléctricas sean iguales, la masa de un electrón es mucho menor que la masa de un protón. Un protón puede avasallar a un electrón que se cruce en su camino. Cualquier desviación en la trayectoria de una partícula α incidente se deberá a la carga eléctrica positiva concentrada en el núcleo atómico sin que los electrones que circundan al átomo produzcan mayor efecto:

Para poder responder a las interrogantes que nos hemos formulado arriba, volveremos momentáneamente al modelo de Thomson y procederemos a la estimación del orden de magnitud de la deflexión de una partícula α por un átomo neutro. Puesto que la masa de una partícula α es unas 8,000 veces más grande que la masa de un electrón, el electrón solo puede tener un efecto muy pequeño en el momentum de la partícula α. La siguiente figura muestra una colisión frontal entre un electrón moviéndose a una velocidad V y una partícula α  que está en reposo:

Antes de la colisión, la partícula de masa M está inicialmente en reposo mientras que la partícula de masa m se le aproxima a una velocidad V. Después de la colisión, la partícula de masa m es rebotada en sentido opuesto y, suponiendo que la masa M es relativamente grande en comparación con la masa m, su velocidad V’ será aproximadamente igual (aunque algo menor) a la velocidad V con la que había impactado. Este es un problema parecido al de un perdigón disparado hacia una bola de boliche en el que se supone una colisión perfectamente elástica. El disparo es simplemente devuelto en la dirección opuesta, con un cambio en el momentum de 2mV. Adoptando un marco de referencia para ver la misma colisión desde otro punto de vista, igualmente podemos obtener la situación de una partícula α, moviéndose a una velocidad V, colisionando con un electrón inicialmente en reposo:

El cambio en el momentum del electrón seguirá siendo 2mV. Por la conservación del momentum, este debe ser también el cambio en el momentum de la partícula α, ΔP = 2m_eV ≈ M_αV/4,000. Podemos obtener un tope máximo a la estimación del ángulo de deflexión tomando este cambio de momentum ΔP (obsérvese que estamos utilizando notación vectorial) como perpendicular al momentum original P de la partícula α, como se muestra en la siguiente figura (naturalmente, ΔP podría ser perpendicular a P únicamente para una colisión de orilla, en cuyo caso la magnitud ΔP sería menor que 2m_eV; sin embargo, estamos interesados únicamente en el orden de magnitud del ángulo de deflexión):

En un caso así, ΔP/P ≈ sen(θ) ≈ θ ≈ 1/4,000 radian ≈ 0.01°,

En el análisis anterior no se ha tomado en cuenta el efecto de la atracción o repulsión eléctrica entre las cargas, lo cual haremos ahora considerando el efecto de repulsión de una carga eléctrica positiva en forma de una esfera cargada uniformemente, sobre una carga puntual también del mismo signo, con la fuerza de repulsión dada en la manera que se muestra a continuación:

Afuera de la superficie de la esfera, la fuerza de repulsión eléctrica F obedece la ley de Coulomb que nos dicta una variación inversa al cuadrado de la distancia al centro de la esfera, siendo la fuerza de repulsión proporcional a Q/r² en donde Q es la carga total de la esfera (no es difícil demostrar, al igual que como se acostumbra hacerlo en el caso de atracciones gravitacionales usando la ley de Newton, que fuera de un centro de atracción esférico podemos considerar a la masa total o la carga total concentrada en el centro geométrico de la esfera), mientras que dentro de la carga esférica la fuerza de repulsión F cae linealmente en relación a la distancia radial al centro de la esfera, siendo proporcional a q’/r² = Qr/R² en donde q’ = Q(r/R)³ es la carga en una esfera de radio r ubicada dentro de la esfera de radio R. Como puede apreciarse en el diagrama de arriba, la máxima fuerza de repulsión ocurre para r.=.R. Podemos estimar el cambio en el momentum de una partícula α, ΔP, debido a esta carga, suponiendo que la fuerza máxima actúa por el tiempo que le lleva a la partícula en pasar por el átomo a una velocidad V. Δt.≈.2R/V. Usando la ley de Coulomb para la fuerza de repulsión electrostática sobre una partícula  de carga q_α situada a una distancia R de una esfera de carga positiva Q:

en donde, si usamos el sistema de unidades MKS-SI, la constante K tiene el valor:

se tiene entonces que:

De nueva cuenta, tomando este ΔP a ángulos rectos al momentum M_αV, obtenemos para el ángulo de deflexión máxima:

A continuación evaluaremos esta expresión para el caso típico de una partícula α cuya carga eléctrica, por tener dos protones, es igual al equivalente de dos cargas eléctricas del electrón pero con signo positivo, o sea q_α.=.2e, y con una energía cinética de 5 MeV incidiendo sobre un átomo de oro el cual por tener número atómico 79 contiene 79 cargas eléctricas (protones) en su núcleo, o sea Q.=.79e. Resulta conveniente para este cálculo y otros expresar la cantidad Ke², que tiene dimensiones de energía×longitud, en unidades de electrón-volt·Angstrom (eV·Å). Se tiene así:

Para nuestro ejemplo, la ecuación obtenida arriba nos dá:

Por lo tanto:

Podemos ver de estas estimaciones en orden de magnitud que inclusive deflexiones tan pequeñas como 1° deben ser el resultado de muchas colisiones. Si tal es el caso, el número de partículas esparcidas a través de ángulos mayores que cierto ángulo particular θ pueden ser predichas recurriendo a procedimientos estadísticos si se conoce el ángulo promedio de esparcimiento. La teoría es muy similar a la que se utiliza para combinar muchos errores pequeños, algunos de ellos positivos y algunos de ellos negativos, y la curva de la distribución resultante es una curva Gaussiana típica (o curva normal). Si simbolizamos como θ_m a la raíz cuadrática media de los ángulos de esparcimiento, entonces el número de partículas que son esparcidas a ángulos mayores que θ viene siendo:

en donde N₀ es el número total de partículas incidentes.

Al llevar a cabo este tipo de experimento con una lámina de oro de 0.0001 centímetro de espesor (no todos los metales se prestan para poder láminas metálicas tan delgadas, el oro es uno de los metales con los que se puede hacer tal cosa, razón por la cual fue seleccionado para llevar a cabo el experimento), y después de llevar a cabo un conteo cuidadoso, Geiger y Marsden encontraron que θ_m tenía un valor aproximado de 1°, de modo tal que el número de partículas esparcidas en ángulos mayores de 90° debería ser:

Esta es una cantidad astronómicamente pequeña. De ser cierto esto, para poder observar centelleos en la pantalla de sulfuro de zinc a ángulos iguales o mayores que 90°, habría que estar pegado al visor por varios millares de siglos para poder observar un solo centelleo.

PROBLEMA: Si una partícula es deflexionada en 0.01° en cada colisión, ¿cuántas colisiones en promedio se requerirán para producir una raíz cuadrática media de deflexiones con un valor de 10°?

Para este caso, se tiene:

Entonces:

Puesto que:

se concluye que se necesitaría de un millón de colisiones para producir apenas un solo evento de colisión de 10° en promedio. con las circunstancias especificadas, o bien un millón de partículas para llevar a cabo el experimento obteniéndose una raíz cuadrática media de 10°.

Suponiendo aún válidas las leyes Newtonianas de la conservación del momentum lineal para los fenómenos que estamos estudiando en el mundo sub-microscópico (o sea, el enfoque clásico y no el enfoque cuántico), el análisis dinámico del fenómeno toma el aspecto mostrado por la siguiente figura que nos muestra la geometría de una partícula α esparcida por un núcleo con las dimensiones de un punto (puntual) que consideraremos en reposo en el origen O::

Aquí el momentum inicial p_i de la partícula α es igual en magnitud al momentum final p_f de la partícula en virtud del principio de la conservación del momentum. Sin embargo, vectorialmente, hay un cambio en la dirección y sentido del momentum, que designaremos como Δp. Del mismo modo, la distancia vertical de la trayectoria paralela de la partícula (antes de ser desviada por el centro de repulsión) a la línea geométrica horizontal que representa un impacto frontal directo con el blano es conocida como el parámetro de impacto y se suele simbolizarlo con la letra b:

Como lo muestra la figura, entre menor sea el parámetro de impacto b, tanto mayor será el ángulo de esparcimiento θ. Estamos interesados en encontrar la relación que pueda haber entre el ángulo θ en función del parámetro de impacto b. La posición de la partícula α en cualquier momento puede ser descrita por la distancia radial r al origen y el ángulo φ de la vertical con el eje-z’ que está en la figura de arriba en el plano de simetría de la desviación de la partícula (en la dirección hacia la cual apunta Δp). Se puede demostrar sin mucha dificultad (en la mecánica clásica) que la trayectoria de la curva es la que corresponde a la de una hipérbola, simétrica con respecto al eje-z’. Podemos encontrar la relación que hay entre θ y b sin entrar en los detalles de la trayectoria.

En la siguiente figura:

P₁ es el momentum inicial de la partícula α y P₂ es el momentum final. Resulta evidente del diagrama que el cambio vectorial en el momentum:

ΔP = P₂  - P₁

ocurre a lo largo del eje-z’. La magnitud tanto de P₁ como de P₂ es MV. Del triángulo isósceles formado por  P₁, P₂ y ΔP, encontramos que la magnitud de ΔP es igual a:

Sabemos de la forma vectorial de la ley de Newton para el movimiento de la partícula α lo siguiente:

o lo que es lo mismo:

La magnitud de la fuerza F está dada por la ley de Coulomb, KqαQ/r², y dicha fuerza de repulsión actúa en la dirección radial. Tomando componentes a lo largo del eje-z’ e integrando, tenemos:

en donde se ha cambiado la variable de integración de t a φ. Podemos escribir dt/dφ en términos del momento angular (no del momentum lineal) de la partícula α con respecto al origen. Puesto que la fuerza es central (esto es, actúa a lo largo de la línea que une a la partícula α y el origen), no hay ningún torque con respecto al origen, y el momento angular es conservado. Inicialmente, el momento angular es MVb. Un cierto tiempo después, es Mr²dφ/dφ. Por lo tanto, la conservación del momento angular implica lo siguiente:

Usando esta ecuación para dt/dφ y en la ecuación que involucra las integrales, y usando KqαQ/r² para la fuerza F, se tiene:

de lo cual:

en donde φ₁ y φ₂ son los valores inicial y final de φ. De la penúltima figura, haciendo:

tenemos que:

 φ₁ = -  φ₀              φ₂ = +  φ₀ 

en donde:

2φ₀ + θ = 180°

Por lo tanto:

sen(φ₂) - sen(φ₁) = 2sen(90° - (θ/2))

o bien:

sen(φ₂) - sen(φ₁) = 2cos(θ/2)

Escribiendo φ en términos de θ y utilizando nuestro resultado previo para el cambio en el momentum lineal, ΔP.=.2MVsen(θ/2), tenemos finalmente:

o bien, despejando para el parámetro de impacto:

No es posible, desde luego, escoger o conocer de antemano el parámetro de impacto para ninguna partícula α; sin embargo, todas aquellas partículas incidentes con parámetros de impacto menores que, o iguales a, un valor particular de b serán esparcidas hacia ángulos θ mayores que o iguales a los que marca esta última expresión que hemos obtenido.

Sea I₀ la intensidad del haz incidente de partículas α por segundo por unidad de área. Puesto que hay conservación de partículas al no haber captura de alguna de ellas (esto es, el número de partículas incidentes es igual al número de partículas esparcidas), el número de partículas esparcidas por segundo por un núcleo hacia ángulos mayores que θ debe ser igual al número de partículas incidentes por segundo que tienen parámetros de impacto menores que b(θ). Este número es πb²I₀.

La cantidad πb² que tiene las dimensiones de área es llamada la sección transversal para esparcimiento a ángulos mayores que θ. El número total de partículas esparcidas por segundo se obtiene multiplicando πb²I₀ por el número de núcleos (de oro) dispersores. Sea n el número de nucleos por unidad de volumen (en sistema de unidades CGS):

Para una lámina de oro de espesor t, el número total de núcleos es nAt, en donde A es el área impactada de la lámina o del haz (cualquiera que sea el menor de ambos). Haciendo referencia a la siguiente figura:

podemos ver que el número total de núcleos que están en el camino del haz de partículas es nAt en donde n es el númerto total de átomos (en la lámina de oro) por unidad de volumen, A es el área del haz, y t es el espesor de la lámina de oro. El número total de partículas esparcidas (por segundo) hacia ángulos mayores que θ será por lo tanto (πb²)I₀(nAt). Si dividimos esto entre el número de partículas incidentes por segundo, o sea I₀A, obtendremos la fracción de partículas esparcidas en angulos mayores que theta:

Haciendo uso de los mismos valores utilizados por Geiger y Marsden en sus estimaciones, podemos evaluar esta fracción para una lámina de oro de 10^-4 centímetros de espesor considerando un ángulo θ.=.90°. Puesto que cot(90/2).=.1, y tomando (1/2)MV².=.5 MeV para la energía de una partícula α típica,  se tiene entonces:

Este es el parámetro de impacto requerido para el esparcimiento de partículas en ángulos iguales que o mayores que 90°. Usando para la masa atómica del oro un valor de 197 (este valor lo obtenemos consultando tablas o Wikipedia) tenemos entonces que el número de núcleos por unidad de volumen para el oro es, en el sistema de unidades CGS:

Por lo tanto, la fraccion de partículas esparcidas en angulos mayores que 90° es:

Esto compara favorablemente con las observaciones obtenidas en su primera tentativa por Geiger y Marsden de una partícula en 8,000.

Geiger y Marsden llevaron a cabo una serie de experimentos en los cuales midieron lo siguiente:

(1) El número de partículas por unidad de área que llegaban a la pantalla de sulfuro de zinc, esparcidas a través de ángulos comprendidos entre θ y θ+dθ (o, mejor dicho, entre θ y Δθ, ya que no es posible medir infinitesimales en ningún laboratorio).

(2) La variación en el número de partículas esparcidas dependiendo del espesor de la lámina.

(3) La variación en el número de partículas esparcidas dependiendo de la masa atómica de la lámina (para lo cual tuvieron que procurar láminas con otros elementos).

(4) La variación en el número de partículas esparcidas dependiendo de la velocidad de las partículas incidentes, para lo cual variaron la velocidad de las mismas colocando absorbedores delgados en el haz incidente con el fin de disminuír la velocidad de las partículas α.

A continuación obtendremos las relaciones básicas para efectuar predicciones en base al modelo de núcleo atómico puntual para esparcimientos en ángulos comprendidos entre θ y θ+dθ.

El número de partículas esparcidas a ángulos entre θ y θ+dθ es igual al número de partículas con parámetros de impacto entre b(θ) y b+db. Este número es igual a la intensidad del haz incidente de partículas multiplicado por el área transversal 2πbdb.Tomando el resultado obtenido para el parámetro de impacto b en función del ángulo θ:

entonces, tomando diferenciales en ambos lados:

Ignoraremos el signo negativo, que lo único que nos dice es que un incremento en b ocasiona una reducción en θ. El número de partículas esparcidas hacia un ángulo dθ es entonces:

Tomando diferenciales de esta expresión, se tiene:

Ahora bien, si utilizamos:

y lo siguiente que viene de la aplicación directa de la definición de la cosecante de un ángulo:

se tiene entonces lo siguiente:

La partícula α tiene el equivalente de dos cargas eléctricas positivas, mientras que el núcleo repulsor (oro) tiene una carga eléctrica positiva multiplicada por el número de protones que hay en el núcleo atómico que es igual al número atómico Z del oro:

El área de la pantalla pequeña del ocular del microscopio puede ser considerada lo suficientemente pequeña como para ser tomada ya sea como una pantalla plana en lugar de una porción de casquete esférico:

Siendo así, el área de la pantalla es (2πrsen(θ))(dθ). De este modo, el número de partículas esparcidas por un núcleo atómico hacia la pantalla por unidad de área en la pantalla viene siendo:

Usando las relaciones anteriores, se tiene entonces:

Por lo tanto:

El modelo puntual predice por lo tanto que el número observado de partículas α esparcidas por unidad de área sobre la pantalla será proporcional a sen^-1/4(θ/2), Z² y V^-1/4. Puesto que el número de núcleos esparcidores es proporcional al espesor de la lámina (suponemos que una partícula α incidente no encuentra un núcleo de oro directamente detrás de otro, e inclusive ni siquiera parcialmente detrás de otro, lo cual es válido considerando las grandes distancias interatómicas que empezamos a sospechar que hay entre cada núclo de oro de la lámina), el número de partículas α esparcidas debe ser proporcional al espesor de la lámina. Obsérvese cómo esto difiere de la predicción hecha por el modelo de Thomson. Si las deflexiones de partículas α a ángulos grandes fueran debidas a un número grande N de pequeñas deflexiones θ_i, la esperanza de una deflexión en particular θ sería proporcional a N^-1/2θ, algo similar al problema del camino aleatorio porque las θ_i varían en dirección, con algunas cancelando a las otras.

A continuación se reproducirá un extracto del trabajo titulado “Deflexión de partículas α a través de ángulos grandes” elaborado por Geiger y Marsden y publicado en 1913 en el volumen 25 del jornal Philosophical Magazine en donde se dá respuesta a los objetivos que Geiger y Marsden se habían fijado arriba:

“Los experimentos descritos en el documento que se acaba de mencionar fueron llevados a cabo para probar una teoría del átomo propuesta por el Prof. Rutherford, cuya punto sobresaliente es que existe en el centro del átomo una intensa, y altamente concentrada carga eléctrica. La verificación está basada en las leyes del esparcimiento que fueron deducidas de dicha teoría. Las siguientes relaciones han sido verificadas experimentalmente:

(1) El número de partículas α emergiendo de una lámina de esparcimiento a un ángulo φ con respecto al haz original varía según 1/sen⁴(φ/2), cuando las partículas α fueron contadas en una área definida a una distancia constante de la lámina. Esta relación ha sido probada para ángulos variando de 5° a 150° y sobre este rango el número de partículas α varió de 1 a 250,000 en buena concordancia con la teoría.

(2) El número de partículas α esparcidas en una dirección definida es proporcional al grosor de la lámina de esparcimiento para grosores pequeños. Para grosores mayores la disminución en la velocidad de las partículas α en la lámina ocasiona un más rápido aumento en la cantidad de esparcimiento.

(3) El esparcimiento por átomo de láminas de materiales diversos varía aproximadamente en razón del cuadrado del peso atómico. Esta relación fue probada para láminas de peso atómico desde el carbón hasta el oro.

(4) El monto del esparcimiento por una lámina dada es aproximadamente proporcional a la cuarta potencia inversa de la velocidad de las partículas α incidentes. Esta relación fue probada sobre un rango de velocidades tal que el número de partículas esparcidas variaba como 1:10.

(5) Experimentos cuantitativos muestran que la fracción de partículas de Ra C, que es esparcida a través de un ángulo de 45° por una lámina de oro de 1 mm de aire equivalente (2.1×10^-5 cm) es 3.7×10^-7 cuando las partículas esparcidas son contadas en una pantalla de un milímetro cuadrado de área colocada a una distancia de 1 centímetro de la lámina esparcidora. De esta figura y los resultados subsecuentes, se puede calcular que el número de cargas elementales que componen el centro del átomo es igual a la mitad del peso atómico.”

Para cierto esparcimiento dado, la distancia de aproximación más cercana de una partícula α al núcleo del átomo de oro puede ser calculada de la geometría de la colisión:

Para un ángulo máximo cercano a los 180°, la colisión es prácticamente “de frente”. Podemos calcular la distancia de aproximación más cercana D para una colisión de frente haciendo la energía potencial a esta distancia igual a la energía cinética original, lo cual supone que al acercarse al núcleo y detenerse la partícula α ha perdido toda su energía cinética, la cual ha sido convertida en energía potencial:

Despejando para la distancia de aproximacion más cercana:

Para el caso de partículas α con una energía de 7.7 MeV, la distancia de aproximación más cercana para una colisión frontal es entonces:

Para otros tipos de colisiones , la distancia de aproximación D más cercana al núcleo será algo más grande que ésto, pero seguirá siendo del mismo orden de magnitud para las partículas α esparcidas a ángulos grandes. Si suponemos que el núcleo atómico no es una carga puntual sino una esfera de radio R₀, el cálculo arriba mostrado solo será válido si la partícula α no penetra dentro del núcleo atómico, lo cual puede ocurrir con una partícula α con suficiente energía para sobreponerse a la fuerza de repulsión Coulómbica y en cuyo caso la ley para el esparcimiento de partículas de Rutherford dejará de ser válida. En la siguiente figura de la izquierda tenemos a una partícula α que no tiene la suficiente energía para penetrar dentro del núcleo atómico, mientras que en la figura de la derecha tenemos a una partícula α cuya energía es lo suficientemente alta para penetrar dentro del núcleo atómico:

La excelente concordancia de los datos obtenidos por Geiger y Marsden a ángulos grandes indica que el radio del núcleo del oro tiene una dimensión inferior a 3×10^-14 metro. Si se pueden usar partículas α de mayor energía (lo cual no era fácil de lograr en los tiempos de Rutherford sin la ayuda de un acelerador, ya que estas partículas se obtienen mediante un proceso espontáneo de desintegración atómica y son lanzadas dentro de un rango de energía muy definido), la distancia de aproximación más cercana sería menor, y conforme la energía de las partículas α es aumentada, podemos esperar eventualmente que las partículas empezarían a penetrar el núcleo. Puesto que, en un caso así, la ley de la fuerza de repulsión dejaría de ser Kq_αQ/r², los datos experimentales no coincidirían con el cálculo efectuado sobre un modelo puntual. Rutherford no tenía a su disposición partículas α de alta energía, pero podía reducir la distancia de aproximación más cercana usando como blancos elementos con números atómicos más bajos. Para el caso del aluminio con número atómico Z.=.13, las partículas α más energéticas esparcidas a ángulos grandes no concordaban con las predicciones teóricas. De todos estos datos, Rutherford estimó que el radio del núcleo atómico debía rondar en algo así como un 10^-14 metro.

En estos estudios propios de la física nuclear, una unidad de longitud que resulta muy conveniente para describir los tamaños nucleares es el Fermi, F, definido como:

1 F = 10^-15 metro = 10^-13 centímetro

En la descripción del fenómeno de esparcimiento de muchas partículas lanzadas como “perdigones” hacia un centro de esparcimiento como el núcleo de un átomo de una lámina de oro, resulta muy conveniente con la ayuda de un sistema de coordenadas esféricas definir una cantidad conocida como la sección transversal diferencial de esparcimiento, simbolizada como dσ/dΩ y definida como el número de partículas esparcidas por segundo hacia un segmento infinitesimal de área en la superficie de una esfera, acotada angularmente por dθ y dφ, dividido entre el ángulo sólido Ω, y dividido entre la intensidad I₀ del haz incidente de partículas. Para entender bien aquello de lo cual estamos hablando aquí, se vuelve indispensable darle un repaso a ese concepto matemático sumamente útil para el análisis del problema clásico del esparcimiento de partículas, la definición del ángulo sólido, que simbolizaremos aquí como Ω. Este concepto es una extensión directa de la definición de un ángulo medido en radianes que se concibe como la razón que hay entre la longitud del arco de una circunferencia dividido entre el radio R del círculo que subtiende dicho arco:

El ángulo sólido Ω, medido en estereoradianes (en literatura técnica inglesa, steradian) es una extensión hacia tres dimensiones del ángulo θ definido en un plano bidimensional en radianes. La definición tridimensional se concibe como la razón que hay entre la porción del área de una superficie esférica A dividida entre el cuadrado del radio R de la esfera:

Aunque a primera vista pudiera suponerse que para la definición del ángulo sólido el área del casquete esférico tomado como referencia debería ser el área que corresponde a la que produzca un cono con centro   en el origen de la esfera:

no es un requisito indispensable que esto sea así, ya que la definición sigue siendo válida para cualquier tipo de área definida sobre la superficie de la esfera, como en el caso del siguiente ángulo sólido anular:

Al estar manejando problemas como éste en los cuales hay una simetría esférica, si vamos a montar un sistema de coordenadas para llevar a cabo nuestras definiciones tal sistema de coordenadas será precisamente un sistema de coordenadas esféricas (r,θ,φ), con el cual podemos empezar a definir un elemento diferencial de ángulo sólido usando como elemento diferencial de área dA el producto del elemento diferencial de longitud medido sobre un ángulo θ y simbolizado en la siguiente figura como dl_θ multiplicado por el elemento diferencial de longitud medido sobre un ángulo φ simbolizado en la siguiente figura como dl_φ:

De este modo, el elemento diferencial de área dA sobre el casquete esférico (resaltado en color amarillo) queda definido de la siguiente manera:

De la figura anterior, podemos ver que el ángulo sólido subtendido por el área entre θ y θ+dθ y entre φ y φ+dφ está dada por:

Si tomando el elemento diferencial de área dA le damos una vuelta completa a la esfera en torno al eje vertical, la tira anular entre θ y θ+dθ subtiende un ángulo sólido que podemos simbolizar como dΩ_θ, que podemos obtener de la expresión anterior llevando a cabo una integración sobre dφ:

La derivación que se llevó a cabo arriba de la fórmula clásica del esparcimiento de Rutherford se hizo suponiendo que las partículas α impactan sobre una pantalla plana, cuando en realidad el esparcimiento de las partículas se lleva a cabo teniendo como pantalla receptora imaginaria la superficie de una esfera en cuyo centro está situado el núcleo dispersor, de una manera como lo muestra la siguiente ilustración:

Suponiendo una simetría esférica, la distribución del esparcimiento dependerá única y exclusivamente del ángulo θ y no del ángulo φ:

De este modo, lo que se está comparando en la definición de la sección diferencial de esparcimiento simbolizada como dσ/dΩ son esencialmente los siguientes dos conceptos:

A continuación llevaremos a cabo una derivación más formal de la fórmula de esparcimiento de Rutherford trabajando sobre esta última consideración que presupone que las particulas esparcidas están incidiendo sobre una superficie esférica, lo cual dicho sea de paso se ajusta al experimento llevado a cabo por Geiger y Marsden los cuales giraron el visor espintaroscopio en torno al centro de dispersión a lo largo de un ángulo θ en ambas direcciones con respecto a la dirección original del haz incidente.

Por principio de cuentas, si hemos definido a la sección transversal diferencial de esparcimiento dσ/dΩ como el número (infinitesimal) de partículas:

esparcidas por segundo hacia un segmento infinitesimal de área en la superficie de una esfera, acotada angularmente por dθ y dφ, dividido entre el ángulo sólido (infinitesimal):

dividido entre la intensidad I₀ del haz incidente de partículas, entonces por la naturaleza misma de la definición se tiene:

Suponiendo que haya una simetría esférica que nos permita integrar en torno al eje-z del esparcimiento reduciendo la contribución de la variable angular φ a 2π, podemos usar el valor para dΩ_θ obtenido arriba:

y podemos usar también el resultado obtenido arriba para el número (infinitesimal) de partículas esparcido hacia un elemento infinitesimal angular dθ:

obteniendo de este modo:

Usando en esto otro de los resultados obtenidos arriba:

se tiene entonces que:

lo cual termina siendo simplificado a la fórmula de Rutherford derivada sobre la consideración de un esparcimiento efectuado no hacia una pantalla plana sino hacia una esfera imaginaria cuyo centro coincide con el del núcleo dispersor:

El conocimiento de la sección transversal diferencial de esparcimiento dσ/dΩ nos permite obtener la sección transversal σ de esparcimiento evaluada sobre un ángulo sólido Ω. Para calcular la sección transversal σ de esparcimiento sobre un ángulo sólido Ω subtendido entre los ángulos θ₁ y θ₂ y los ángulos φ₁ y φ₂, esto lo podemos llevar a cabo de la siguiente manera si conocemos la sección transversal diferencial de esparcimiento dσ/dΩ:

Podemos hacer más claro lo anterior poniendo límites a las dos integrales angulares, reescribiendolo como:

Usando la definición del ángulo sólido dΩ, se tiene:

Resulta instructivo llevar a cabo ahora el análisis del problema que se presenta en el caso clásico del esparcimiento de partículas en una colisión perfectamente elástica con una esfera sólida dura de radio R como lo puede ser una bola de boliche. La sección transversal total σ_T de esparcimiento para el esparcimiento de una lluvia de perdigones disparados hacia una bola de boliche de radio R, en este caso, es simplemente el área presentada al haz por la bola de boliche, o sea πR², y esto lo podemos obtener aplicando los conceptos que se acaban de dar.

PROBLEMA: Se lanza repetidamente un haz de perdigones hacia una esfera sólida e impenetrable de radio R. Determínese la condición que determina cuáles perdigones continuarán con un movimiento hacia adelante aunque no sea en la misma dirección de incidencia, y cuales perdigones serán regresados en una dirección contraria. Obténgase la sección transversal diferencial de esparcimiento dσ/dΩ, e integrando la expresión obtenida obténgase la sección transversal total del esparcimiento σ_T.

Simbolizando con un circulito rojo cuyo interior es blanco a un perdigón incidente, y con un círculito completamente rojo al perdigón esparcido, la siguiente figura nos muestra la geometría que tiene que ser considerada para este problema:

De la figura, resulta obvio que la condición que determina cuáles perdigones incidentes se moverán de izquierda a derecha y cuáles se moverán de derecha a izquierda después del impacto ocurrirá justo cuando el ángulo 2β sea igual a 90 grados, valor en el cual los perdigones saldrán rebotados en una dirección vertical perpendicular a la dirección de su llegada, o sea para β.=.45°. De la figura, también resulta obvio que:

como también resulta evidente que:

Tomando diferenciales:

Por otro lado, se tiene la siguiente situación para el perdigón rebotando elásticamente de la esfera sólida:

De este modo, tomando en cuenta la geometría del asunto, se tiene:

Este resultado nos confirma que σ para una esfera sólida y rígida es isotrópica, esto es, independiente tanto del ángulo θ como del ángulo φ. Integrando sobre todo el espacio, esto es, sobre todo el ángulo sólido completo de 4π estereoradianes, obtenemos la sección transversal de esparcimiento:

Este es justo el resultado que esperaríamos, ya que nos dice que si lanzamos un haz de perdigones hacia una esfera sólida e impenetrable de radio R, la sección transversal que se interpondrá en el libre camino de los perdigones es el equivalente de un círculo de área πR².

PROBLEMA: Supóngase que un núcleo de oro de radio 8×10^-13 cm actúa como una esfera sólida para el esparcimiento de partículas sin carga eléctrica alguna (tal y como ocurre en el caso en que las partículas incidentes son neutrones). ¿Qué fracción de las partículas puntuales sin carga (las partículas incidentes) serán deflexionadas por una lámina de oro con un espesor de 10^-4 cm?

Para el oro, tomaremos el número obtenido arriba que nos dá el número de átomos por centímetro cúbico que hay en una lámina de oro:

n = 5.9×10²² átomos/cm³

Frontalmente, para los neutrones incidentes sobre la lámina de oro, si la lámina de oro tiene un espesor de 10^-4 cm la cantidad de átomos que serán vistos por cada centímetro cuadrado de la superficie de la lámina serán:

nt = (5.9×10²² átomos/cm³)(10^-4 cm)

nt = 5.9×10¹⁸ átomos/cm²

Esta es la cantidad de átomos que las partículas incidentes ven obstruyendo su libre camino. Considerando al núcleo de oro como una esfera sólida y usando los resultados obtenidos arriba, la sección transversal σ_T de cada núcleo de oro será:

σ_T = πR²

σ_T = π(8×10^-13 cm)²

σ_T = 2.01×10^-24 cm²

Entonces, suponiendo que no hay ningún nucleo de oro detrás de otro (una suposición válida considerando las distancias que hay entre cada átomo de oro y tomando en cuenta el hecho de que las dimensiones del núcleo son mucho menores al tamaño del átomo de oro), la multiplicación de nt por  σ_T produce el área total de obstrucción al paso de las partículas incidentes, lo cual implica que de cada centímetro cuadrado de área de la lámina de oro solo una fracción de las partículas incidentes tocará en su recorrido algún núcleo de oro, fraccióndada por:

f = (nt · σ_T) /(1 cm)

f = (5.9×10¹⁸ )(2.01×10^-24)/(1)

f = 1.186×10^-5

Las conclusiones obtenidas experimentalmente por Geiger y Marsden condujeron al establecimiento en firme del modelo nuclear del átomo, y no en vano Ernest Rutherford es llamado “el padre del la física nuclear”. El trabajo con el cual Rutherford presentó su explicación teórica de los resultados experimentales observados en el esparcimiento de partículas tuvo por título The Scattering of  α and β particles by Matter and the Structure of the Atom. Es el trabajo con el cual nació la física nuclear tal y como hoy la conocemos, del cual la primera página es la siguiente (se recomienda ampliar la imagen):

Con todo y el enorme avance que representó el modelo atómico nuclear de Rutherford, de hecho trajo nuevos dilemas que se antojaban extraordinariamente difíciles de resolver. El más obvio de dichos dilemas es que si la carga positiva del átomo está concentrada en un núcleo estático con las cargas eléctricas negativas (los electrones) situadas en torno al núcleo, el núcleo debería de ejercer una fuerza de atracción eléctrica (de acuerdo a la ley de Coulomb) hacia las cargas de signo contrario jalándolas hacia el mismo para fusionarse de alguna manera con el núcleo neutralizando eléctricamente al átomo como un todo (después de todo, un precepto básico de la teoría de la electricidad es que las cargas de signos opuestos se atraen mientras que las cargas eléctricas de signos iguales se repelen). Para contrabalancear la fuerza de la atracción eléctrica ejercida por el núcleo de carga positiva sobre el electrón de carga negativa, se supuso que los electrones no permanecían en una posición estática sino que giraban en torno al núcleo con una velocidad lo suficientemente elevada como para que la fuerza centrípeta requerida para mantener al electrón en una órbita circular estuviese balanceada idénticamente con la fuerza de atracción eléctrica entre el núcleo y el electrón para mantenerlo en una órbita circular estable. Este fue precisamente el punto de vista adoptado por Niels Bohr, el cual para explicar los espectros discretos de la energía emitida por los gases incandescentes introdujo el requerimiento adicional de que las órbitas circulares de los electrones no podían tomar cualquier valor energético, la energía de las órbitas tenía que estar cuantizada, lo cual conduce directamente a las predicciones teóricas del modelo atómico de Bohr. Pero el problema con tal modelo de acuerdo a la electrodinámica clásica es que un electrón moviéndose rápidamente en una órbita circular deber perder energía por radiación emitida al exterior, lo cual solo puede ser compensado con una disminución continua del radio de la órbita del electrón que hace que el electrón en lugar de sostener una órbita circular estable vaya cayendo rápidamente en una espiral hacia el núcleo. De este modo, ya sea con un electrón estático situado a cierta distancia del núcleo o con un electrón moviéndose en torno al núcleo, el átomo de acuerdo al modelo nuclear de Rutherford debería de ser una cosa bastante inestable, que no lo era. Peor aún, no es posible observar directamente a un electrón moviéndose en torno a un núcleo, mucho menos medir la velocidad de su órbita o la distancia radial hacia el núcleo. Estos dilemas fueron los que condujeron a la búsqueda de nuevos modelos trayendo consigo el advenimiento de la Mecánica Cuántica moderna, la cual ha abandonado por completo los modelos mecanísticos del átomo que prevalecían en las postrimerías del siglo XX. En la actualidad, ningún estudioso cree ya en los modelos mecanísticos del átomo porque, al menos desde el punto de vista teórico, tales modelos son insostenibles. De cualquier modo, el modelo nuclear de Rutherford sigue siendo un pilar de la física nuclear contemporánea en virtud de su excelente concordancia con los hechos experimentales.

Viendo un poco más hacia adelante, y armados con los conocimientos de la Mecánica Cuántica probabilista que reemplazó los conceptos de la vieja mecánica determinista Newtoniana, queda ahora un problema importante por resolver, y se trata de un problema mayúsculo. Desde el punto de vista de la Mecánica Ondulatoria, las partículas de las que hemos estado hablando al entrar en el estudio del esparcimiento de Rutherford de hecho no son partículas en el sentido clásico de la palabra, son ondas de materia, o bien, ondas de probabilidad. ¿Cómo podemos empezar a atacar teóricamente el mismo problema usando la Mecánica Cuántica en lugar de recurrir a la mecánica clásica? Téngase en cuenta que, mientras que en la mecánica clásica siempre es posible poder identificar por separado dos objetos en proximidad el uno al otro   aunque sean del mismo tipo (por ejemplo, dos pelotas de golf pintadas con colores distintos) estando en condiciones de poder seguir sus trayectorias individuales incluso aunque choquen repetidamente entre sí, en la Mecánica Cuántica esto es imposible de llevarse a cabo, ni siquiera en principio, porque lo precluye el principio de incertidumbre.